V
8. SINIF MATEMATİK
lisedersleri.com
BÖLÜM 1: ÇARPANLAR VE KATLAR (TEMEL KAVRAMLAR)
1. Bir Pozitif Tam Sayının Çarpanları ve Bölenleri
Her pozitif tam sayı, iki pozitif tam sayının çarpımı olarak yazılabilir. Bu pozitif tam sayılara o sayının çarpanları veya aynı zamanda bölenleri denir. Bir sayının çarpanları, o sayıyı kalansız (tam) bölen sayılardır.
45 sayısının tüm pozitif tam sayı çarpanlarını sırasıyla bulalım:
Buna göre 45 sayısının pozitif çarpanları (bölenleri): 1, 3, 5, 9, 15, 45 olmak üzere toplam 6 tanedir.
2. Asal Sayılar ve Asal Çarpanlar
Sadece 1'e ve kendisine tam bölünebilen, 1'den büyük doğal sayılara asal sayı denir. En küçük asal sayı 2'dir. Çift olan tek asal sayı da 2'dir, diğer tüm asal sayılar tektir.
Bir pozitif tam sayının çarpanlarından asal olanlarına o sayının asal çarpanları denir. Sayıları asal çarpanlarına ayırmak için iki temel yöntem kullanılır:
- Asal Çarpanlar Algoritması (Bölen Listesi): Sayının yanına dikey bir çizgi çekilerek en küçük asal sayıdan başlanıp bölme işlemi yapılır.
- Çarpan Ağacı: Sayı, iki sayının çarpımı şeklinde dallara ayrılarak en alt basamakta sadece asal sayılar kalana kadar ilerletilir.
90 sayısını asal çarpanlarına ayıralım ve üslü ifade olarak gösterelim:
Buradan anlaşılacağı üzere 90 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.
BÖLÜM 2: EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (EBOB) VE UYGULAMALARI
İki ya da daha fazla pozitif tam sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların En Büyük Ortak Böleni (EBOB) denir. İki sayının EBOB'unu bulmak için sayılar birlikte algoritma çizgisine alınır ve her iki sayıyı da aynı anda bölen asal sayılar işaretlenerek çarpılır.
24 ve 36 sayılarının EBOB'unu hesaplayalım:
Her iki sayıyı ortak bölen asallar: 2, 2 ve 3'tür.
EBOB Problemlerinin Genel Özellikleri
Sorularda büyük parçalardan daha küçük eş parçalar elde edilmesi isteniyorsa bu bir EBOB problemidir. Sınavlarda sıkça karşılaşılan senaryolar şunlardır:
- Farklı kalitelerdeki veya ağırlıklardaki çuvallarda, bidonlarda bulunan malzemelerin eşit hacimli küçük poşetlere/şişelere paylaştırılması.
- Bir tarlanın, bahçenin etrafına eşit aralıklarla direk veya ağaç dikilmesi durumları.
- Büyük kumaş toplarının, demir çubukların veya tahta blokların eşit uzunlukta küçük parçalara bölünmesi.
BÖLÜM 3: EN KÜÇÜK ORTAK KAT (EKOK) VE ARALARINDA ASALLIK
İki ya da daha fazla pozitif tam sayının ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların En Küçük Ortak Katı (EKOK) denir. Algoritma çizgisinin sağında kalan tüm asal sayıların çarpımı sayıların EKOK'unu verir.
12 ve 15 sayılarının EKOK'unu hesaplayalım:
EKOK Problemlerinin Genel Özellikleri
Sorularda küçük parçalar bir araya getirilerek daha büyük bütünler oluşturuluyorsa veya eş zamanlı tekrarlanan durumlar varsa bu bir EKOK problemidir:
- Farklı zaman aralıklarında çalan zillerin veya nöbet tutan kişilerin tekrar birlikte ne zaman aynı eylemi yapacağı soruları.
- Küçük dikdörtgen tuğlalar veya bloklar yan yana getirilerek büyük bir kare alan oluşturulması.
- Bilyelerin, cevizlerin veya nesnelerin 3'erli, 5'erli sayıldığında artan veya tam bölünen durumları.
Aralarında Asal Sayılar
1'den başka ortak pozitif böleni olmayan iki veya daha fazla pozitif tam sayıya aralarında asal sayılar denir. Sayıların aralarında asal olması için kendilerinin ayrı ayrı asal sayı olmasına gerek yoktur.
- Ardışık tam sayılar her zaman aralarında asaldır. (Örneğin: 15 ve 16)
- 1 sayısı ile tüm pozitif tam sayılar aralarında asaldır.
- Aralarında asal iki sayının EBOB'u daima 1'dir: EBOB(A, B) = 1
- Aralarında asal iki sayının EKOK'u bu sayıların çarpımına eşittir: EKOK(A, B) = A × B
BÖLÜM 4: ÜSLÜ İFADELER VE TEMEL KURALLARI
Bir sayının kendisi ile tekrarlı çarpımının kısa yoldan gösterimine üslü ifade denir. an ifadesinde a taban, n ise üs (kuvvet) adını alır.
1. Negatif Üs Kavramı
Bir üslü ifadede üssün negatif olması, tabandaki sayının çarpmaya göre tersinin (takla atmış halinin) alınacağı anlamına gelir.
2. Üslü İfadelerde İşlem Kuralları
| İşlem Türü | Kural Tanımı | Matematiksel Model |
|---|---|---|
| Üssün Üssü | Üsler birbiriyle çarpılır. | (ax)y = ax · y |
| Çarpma (Tabanlar Aynı) | Taban aynen yazılır, üsler toplanır. | ax × ay = ax + y |
| Bölme (Tabanlar Aynı) | Payın üssünden paydanın üssü çıkarılır. | ax / ay = ax - y |
BÖLÜM 5: ONDALIK GÖSTERİMLER VE BİLİMSEL GÖSTERİM
1. 10'un Kuvvetlerini Kullanarak Çözümleme
Bir ondalık gösterimi, basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazmaya çözümleme denir.
2. Bilimsel Gösterim
a bir gerçek sayı, 1 ≤ |a| < 10 ve n bir tam sayı olmak üzere bir sayının a × 10n biçiminde gösterilmesine bilimsel gösterim denir.
- 0,0000072 sayısının bilimsel gösterimi: 7,2 × 10-6
- 620 000 000 sayısının bilimsel gösterimi: 6,2 × 108
Bu ders notlarını yazdırmak veya PDF olarak bilgisayarına kaydetmek ister misin?